Regla del Producto para encontrar Derivadas con Ejemplos Paso a Paso

Cuando usamos el término producto, nos referimos a dos funciones multiplicadas entre sí. La Regla del Producto es una de las reglas de diferenciación en cálculo que nos permite encontrar la derivada del producto de dos o más funciones diferenciables. Esta regla es muy útil cuando queremos evitar o no podemos hacer la multiplicación antes de la diferenciación.

En otras palabras, la Regla del Producto nos permite encontrar la derivada de dos funciones diferenciables que se están multiplicando juntas combinando nuestro conocimiento tanto de la Regla de la Potencia como de la Regla de la Suma y Diferencia para derivadas.

Fórmula de la Regla del Producto y Definición Formal

La fórmula de la Regla del Producto para dos funciones es la siguiente:

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x)

Para dos funciones diferenciables $f (x)$ y $g (x)$ , la derivada de su producto con respecto a $x$ se da por:

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) = f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x)

donde $\frac{d}{d x} f (x)$ es la derivada de $f (x)$ y $\frac{d}{d x} g (x)$ es la derivada de $g (x)$ .

En palabras simples, la regla establece que la derivada de un producto de dos funciones es igual a la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.

Pasos para Aplicar la Regla del Producto

Identifica las dos funciones que se están multiplicando, $f (x)$ y $g (x)$ .
Encuentra la derivada de la primera función, $\frac{d}{d x} f (x)$ .
Encuentra la derivada de la segunda función, $\frac{d}{d x} g (x)$ .
Multiplica la primera función, $f (x)$ , por la derivada de la segunda función, $\frac{d}{d x} g (x)$ .
Multiplica la segunda función, $g (x)$ , por la derivada de la primera función, $\frac{d}{d x} f (x)$ .
Suma los resultados de los pasos 4 y 5 para obtener la derivada del producto.

Errores Comunes Usando la Regla del Producto

Es esencial notar que la derivada de un producto no es (!) igual al producto de las derivadas. En otras palabras:

\frac{d}{d x} (f (x) g (x)) \neq \frac{d}{d x} f (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x)

Esto es algo con lo que los estudiantes a menudo se confunden cuando aprenden por primera vez sobre la regla del producto. Para asegurarte de no cometer este error, siempre recuerda multiplicar cada función por la derivada de la otra función, luego suma los dos resultados.

Ejemplos

Ejemplo 1: Función Binomial

Vamos a encontrar la derivada de la siguiente función usando la Regla del Producto:

h (x) = (3 x^{2} + 2) (4 x - 1)

Usando el código de colores para que sea más fácil de seguir:

$f (x) = 3 x^{2} + 2$ (azul)
$g (x) = 4 x - 1$ (rojo)

Aplicando la Regla del Producto:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (x) & = (3 x^{2} + 2) \cdot \frac{d}{d x} (4 x - 1) + (4 x - 1) \cdot \frac{d}{d x} (3 x^{2} + 2) & = (3 x^{2} + 2) \cdot 4 + (4 x - 1) \cdot 6 x & = 12 x^{2} + 8 + 24 x^{2} - 6 x & = 36 x^{2} - 6 x + 8 \end{matrix}

Ejemplo 2: Tasa Instantánea de Cambio

Supongamos que queremos encontrar la derivada de $h (x) = (2 x^{3} + 1) (5 x - 3)$ cuando $x = 1$ .

Primero, usaremos la Regla del Producto para encontrar la derivada:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (x) & = (2 x^{3} + 1) \cdot \frac{d}{d x} (5 x - 3) + (5 x - 3) \cdot \frac{d}{d x} (2 x^{3} + 1) \\ = (2 x^{3} + 1) \cdot 5 + (5 x - 3) \cdot 6 x^{2} \\ = 10 x^{3} + 5 + 30 x^{3} - 18 x^{2} \\ = 40 x^{3} - 18 x^{2} + 5 \end{matrix}

Ahora, encontraremos el valor de la derivada cuando $x = 1$ :

\begin{matrix} \frac{d}{d x} h (1) & = 40 (1)^{3} - 18 (1)^{2} + 5 \\ = 40 - 18 + 5 \\ = 27 \end{matrix}

Entonces, la tasa instantánea de cambio de $h (x)$ en $x = 1$ es 27.

Ejemplo 3: Funciones Trigonométricas

Vamos a encontrar la derivada de $f (x) = \sin (x) \cdot \cos (x)$ usando la Regla del Producto.

\begin{matrix} \frac{d}{d x} f (x) & = \sin (x) \cdot \frac{d}{d x} \cos (x) + \cos (x) \cdot \frac{d}{d x} \sin (x) \\ = \sin (x) \cdot (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot \cos (x) \\ = - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \end{matrix}

Solo una nota rápida para decir que cubriremos las derivadas de las funciones trigonométricas en una lección separada. Estoy seguro de que este ejemplo te será muy útil para mostrarte lo útil que puede ser la Regla del Producto cuando trabajas con funciones que no están relacionadas, como las funciones trigonométricas.

Ejemplo 4: Más de Dos Funciones

La Regla del Producto puede extenderse para encontrar la derivada del producto de más de dos funciones. Para tres funciones, la fórmula se convierte en:

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (f (x) g (x) h (x)) & = f (x) g (x) \cdot \frac{d}{d x} h (x) + f (x) h (x) \cdot \frac{d}{d x} g (x) + g (x) h (x) \cdot \frac{d}{d x} f (x) \end{matrix}

Este patrón puede extenderse para encontrar la derivada del producto de cualquier número de funciones. Por ejemplo, vamos a encontrar la derivada de $f (x) = (x^{2} + 1) (2 x - 3) (3 x + 4)$ .

Usando la Regla del Producto extendida:

$\begin{matrix} \frac{d}{d x} f (x) & = (x^{2} + 1) (2 x - 3) \cdot \frac{d}{d x} (3 x + 4) + (x^{2} + 1) (3 x + 4) \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 3) + (2 x - 3) (3 x + 4) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) \ & = (x^{2} + 1) (2 x - 3) \cdot 3 + (x^{2} + 1) (3 x + 4) \cdot 2 + (2 x - 3) (3 x + 4) \cdot 2 x \ & = 3 (x^{2} + < / p > < p > 1) (2 x - 3) + 2 (x^{2} + 1) (3 x + 4) + 2 x (2 x - 3) (3 x + 4) \end{matrix}$

El resultado puede simplificarse aún más expandiendo los términos y combinando términos semejantes.

Regla del Producto en Diferenciación