Regla del Cociente para encontrar Derivadas con Ejemplos Paso a Paso

La Regla del Cociente nos ayuda a encontrar la derivada de una función que es el cociente de otras dos funciones. Se utiliza cuando una función está dividida por otra. Esto nos permite diferenciar estas funciones complejas considerando las derivadas individuales de las dos funciones.

Fórmula de la Regla del Cociente y Definición Formal

La fórmula de la Regla del Cociente es la siguiente:

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Para dos funciones diferenciables $f (x)$ y $g (x)$ , donde $g (x) \neq 0$ , la derivada de su cociente está dada por:

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

donde $f^{'} (x)$ es la derivada de $f (x)$ y $g^{'} (x)$ es la derivada de $g (x)$ .

Pasos para Aplicar la Regla del Cociente

Identificar la función numerador, $f (x)$ , y la función denominador, $g (x)$ .
Encontrar la derivada de la función numerador, $f^{'} (x)$ .
Encontrar la derivada de la función denominador, $g^{'} (x)$ .
Aplicar la fórmula de la Regla del Cociente:
$\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}$
Simplificar la expresión resultante, si es necesario.

Recordando la Regla del Cociente

Para recordar fácilmente la Regla del Cociente, puedes usar el mnemónico “Hi-Dee-Ho”:

“Hi” representa la función numerador, $f (x)$ , porque está “arriba”.
“Ho” representa la función denominador, $g (x)$ , porque está “abajo”.
“Dee” representa la derivada de la función.

La Regla del Cociente se puede recordar como:

\frac{Hi}{Ho} = \frac{Ho-Dee-Hi - Hi-Dee-Ho}{Ho-Ho}

que se traduce a:

\frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Ejemplos

Ejemplo 1: Derivada de una Fracción

Vamos a usar la Regla del Cociente para diferenciar la función $\frac{x^{2} + 1}{x - 1}$ .

Identificar $f (x) = x^{2} + 1$ y $g (x) = x - 1$ .
Encontrar $f^{'} (x) = 2 x$ y $g^{'} (x) = 1$ .
Aplicar la Regla del Cociente:
$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \cdot 1}{(x - 1)^{2}}$
Simplificar:
$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2} + 1}{x - 1}) = \frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2} - 1}{(x - 1)^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{(x - 1)^{2}}$

Ejemplo 2: Error Común

Es importante notar que la derivada de un cociente no es igual al cociente de las derivadas. Por ejemplo:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x}) \neq \frac{\frac{d}{d x} (x^{2})}{\frac{d}{d x} (x)} = \frac{2 x}{1} = 2 x

En cambio, usando la Regla del Cociente:

\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x}) = \frac{x \cdot 2 x - x^{2} \cdot 1}{x^{2}} = \frac{2 x^{2} - x^{2}}{x^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1

Ejemplo 3: Tasa Instantánea de Cambio

Encuentra la tasa instantánea de cambio de $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x + 1}$ en $x = 1$ .

Encontrar $f^{'} (x)$ usando la Regla del Cociente:
$f^{'} (x) = \frac{(x + 1) \cdot 2 x - (x^{2} + 1) \cdot 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2} - 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{(x + 1)^{2}}$
Evaluar $f^{'} (1)$ :
$f^{'} (1) = \frac{1^{2} + 2 (1) - 1}{(1 + 1)^{2}} = \frac{1 + 2 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Así, la tasa instantánea de cambio de $f (x)$ en $x = 1$ es $\frac{1}{2}$ .

Relación con la Regla del Producto

La Regla del Cociente está estrechamente relacionada con la Regla del Producto, que se utiliza para diferenciar el producto de dos funciones. La principal diferencia entre las dos reglas es que la Regla del Cociente tiene un signo menos en el numerador, mientras que la Regla del Producto tiene un signo más.

Regla del Producto:

\frac{d}{d x} (f (x) \cdot g (x)) = f (x) \cdot g^{'} (x) + g (x) \cdot f^{'} (x)

Regla del Cociente:

\frac{d}{d x} (\frac{f (x)}{g (x)}) = \frac{g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{[g (x)]^{2}}

Aunque estas funciones se parecen, es realmente importante usar la regla correcta dependiendo de si estás multiplicando o dividiendo.

Regla del Cociente en Diferenciación