Regla de la Suma en la Diferenciación

La Regla de la Suma, también conocida como la Regla de la Adición, es un principio fundamental en la diferenciación utilizado para encontrar la derivada de una suma de dos o más funciones. Esta regla simplifica el proceso de diferenciar tales funciones y se usa ampliamente en varias aplicaciones del cálculo, incluyendo problemas de optimización, física e ingeniería.

Pasos para Aplicar la Regla de la Suma

1. Identificar las funciones: Determinar las funciones individuales $f(x)$, $g(x)$, o cualquier otra función en la suma dada.
2. Encontrar las derivadas de cada función: Diferenciar cada función en la suma con respecto a su variable utilizando las reglas de diferenciación apropiadas.
3. Sumar las derivadas: Sumar las derivadas de las funciones individuales obtenidas en el paso 2.
4. Simplificar el resultado: Si es necesario, simplificar la expresión final obtenida en el paso 3.

Ejemplo: Aplicación de la Regla de la Suma

Consideremos la función $h(x)=x^3+\sin (x)$.

1. Las funciones en la suma son $f(x)=x^3$ y $g(x)=\sin (x)$.

2. La derivada de $x^3$ es $3x^2$ (usando la Regla del Poder), y la derivada de $\sin (x)$ es $\cos (x)$.

3. Sumando las derivadas:

   $$h^{\prime }(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^3+\sin (x))=\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^3+\frac{\text{d}}{\text{d}x}\sin (x)=3x^2+\cos (x)$$

4. El resultado ya está simplificado, por lo que tenemos:

   $$h^{\prime }(x)=3x^2+\cos (x)$$

Por lo tanto, la derivada de $h(x)=x^3+\sin (x)$ es $h^{\prime }(x)=3x^2+\cos (x)$.

Demostración de la Regla de la Suma

Para demostrar la Regla de la Suma para la diferenciación, utilizaremos la definición de la derivada (es decir, el primer principio de diferenciación) y las propiedades del límite. Sea $h(x)=f(x)+g(x)$, donde $f(x)$ y $g(x)$ son funciones diferenciables.

Demostración:

Por lo tanto, hemos demostrado que $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(f(x)+g(x))=\frac{\text{d}}{\text{d}x}f(x)+\frac{\text{d}}{\text{d}x}g(x)$.

Explicación Detallada de los Pasos de la Demostración

1. Comenzar con la definición de $h(x)$: $h(x)$ se define como la suma de $f(x)$ y $g(x)$:

   $$h(x)=f(x)+g(x)$$

2. Definición de la derivada: La derivada de $h(x)$ con respecto a $x$ se da por:

   $$h^{\prime }(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(f(x)+g(x))$$

3. Aplicar la definición de límite de la derivada: Utilizando la definición de límite, la derivada se puede escribir como:

   $$h^{\prime }(x)={lim}_{h\to 0}\frac{(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h}$$

4. Distribuir los términos en el numerador: Reescribir la expresión dentro del límite distribuyendo los términos:

   $$h^{\prime }(x)={lim}_{h\to 0}\frac{(f(x+h)+g(x+h))-f(x)-g(x)}{h}$$

5. Separar las fracciones: Dividir la fracción en dos fracciones separadas:

   $$h^{\prime }(x)={lim}_{h\to 0}[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}]$$

6. Usar la propiedad de la suma de límites: Aplicar la propiedad de que el límite de una suma es la suma de los límites:

   $$h^{\prime }(x)={lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+{lim}_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

7. Reconocer las derivadas individuales: Cada término dentro de los límites representa la derivada de las respectivas funciones:

   $$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$$

Así, hemos demostrado que: