Regla de la Potencia en Diferenciación

¿Qué es la Regla de la Potencia?

La Regla de la Potencia es una regla utilizada en cálculo para diferenciar funciones donde una variable está elevada a una potencia, como $x^5$. Facilita encontrar la derivada de polinomios y otras funciones con términos de potencia. La regla de la potencia establece que para encontrar la derivada de una variable elevada a una potencia constante, se multiplica la potencia por el coeficiente y luego se disminuye la potencia en uno.

Aplicación de la Regla de la Potencia

La Regla de la Potencia se utiliza cuando necesitas encontrar la derivada de una función que involucra una variable elevada a una potencia constante. Esta regla es particularmente útil para diferenciar polinomios, que son sumas de términos con diferentes potencias de la variable.

Por ejemplo, para encontrar la derivada de $f(x)=x^3$, aplicarías la Regla de la Potencia:

Demostración Matemática

Existen varias formas de demostrar la Regla de la Potencia, incluyendo el uso de inducción matemática, el teorema binomial y la definición de la derivada.

Demostración de la Regla de la Potencia Usando Inducción Matemática

Podemos demostrar la Regla de la Potencia usando inducción matemática para exponentes enteros positivos.

1. Caso base: Para $n=1$, tenemos $f(x)=x^1=x$. Usando la definición de la derivada, obtenemos:

   $$\begin{gathered} f^{\prime }(x)\&={lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ [\mathrm{2ex}]\&={lim}_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h} \\ [\mathrm{2ex}]\&={lim}_{h\to 0}\frac{h}{h} \\ [\mathrm{2ex}]\&=1 \end{gathered}$$

   Esto coincide con la fórmula de la Regla de la Potencia: $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^1)=1x^{1-1}=1x^0=1$.

2. Paso inductivo: Supongamos que la Regla de la Potencia se cumple para $n=k$, es decir, $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^k)=k{x}^{k-1}$. Necesitamos probar que también se cumple para $n=k+1$.

   Sea $f(x)=x^{k+1}$. Usando la regla del producto, obtenemos:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x·x^k)=x·\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^k)+x^k·\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)$$

   Por la hipótesis inductiva y el hecho de que $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=1$, tenemos:

   $$f^{\prime }(x)=x·k{x}^{k-1}+x^k·1=k{x}^k+x^k=(k+1)x^k$$

   Esto coincide con la fórmula de la Regla de la Potencia para $n=k+1$: $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{k+1})=(k+1)x^{(k+1)-1}=(k+1)x^k$.

Por lo tanto, por inducción matemática, la Regla de la Potencia se cumple para todos los exponentes enteros positivos.

Demostración de la Fórmula de la Regla de la Potencia para Enteros Negativos

Para demostrar la Regla de la Potencia para exponentes enteros negativos, podemos usar el hecho de que $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$ y la Regla de la Potencia para exponentes enteros positivos.

Sea $f(x)=x^{-n}$, donde $n$ es un entero positivo. Usando la regla del cociente, obtenemos:

Dado que $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(1)=0$ y $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^n)=n{x}^{n-1}$ (por la Regla de la Potencia para exponentes enteros positivos), tenemos:

Esto coincide con la fórmula de la Regla de la Potencia para exponentes enteros negativos: $\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^{-n})=-n{x}^{-n-1}$.

Otras Reglas de la Potencia en Cálculo

Regla de la Potencia para Exponentes: $(x^m{)}^n$ = $x^{mn}$

Esta regla establece que al elevar una potencia a otra potencia, puedes multiplicar los exponentes. Por ejemplo:

Regla de la Potencia para Logaritmos

La Regla de la Potencia para Logaritmos establece que el logaritmo de una variable elevada a una potencia es igual a la potencia multiplicada por el logaritmo de la variable. En otras palabras:

Por ejemplo: