Regla de la Cadena para encontrar Derivadas con Ejemplos Paso a Paso

La regla de la cadena es una regla de diferenciación utilizada para encontrar la derivada de una función compuesta. Una función compuesta es una función que puede escribirse como la composición de dos o más funciones, por ejemplo, $f (g (x))$ . La regla de la cadena nos permite descomponer la derivada de la función compuesta en las derivadas de sus funciones interna y externa.

La Fórmula de la Regla de la Cadena

Si $h (x) = f (g (x))$ , donde $f$ y $g$ son ambas funciones diferenciables, entonces la derivada de $h$ está dada por:

h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

En otras palabras, para encontrar la derivada de $h (x)$ :

Primero, toma la derivada de la función externa $f$ , tratando la función interna $g (x)$ como la variable de entrada.
Luego, multiplica por la derivada de la función interna $g$ .

Esto puede entenderse intuitivamente como:

$f^{'} (g (x))$ representa la tasa de cambio de $f$ con respecto a $g (x)$ .
$g^{'} (x)$ representa la tasa de cambio de $g (x)$ con respecto a $x$ .
Multiplicar estos juntos da la tasa de cambio general de $f (g (x))$ con respecto a $x$ , mediante la regla de la cadena.

¿Qué es una Función Compuesta?

Una función compuesta es una función que se forma al combinar dos o más funciones, donde la salida de una función se convierte en la entrada de la siguiente función. Si $f$ y $g$ son dos funciones, entonces la función compuesta $h (x) = f (g (x))$ es la función obtenida aplicando $f$ a la salida de $g$ .

En la notación $f (g (x))$ :

$g$ se llama la función interna.
$f$ se llama la función externa.

La función compuesta $h (x)$ se puede evaluar primero evaluando la función interna $g (x)$ y luego evaluando la función externa $f$ en el valor de $g (x)$ .

Ejemplo

Sea $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 x + 1$ . Entonces la función compuesta $h (x) = f (g (x))$ es:

$h (x) = f (g (x)) = (3 x + 1)^{2} = 9 x^{2} + 6 x + 1$

Aquí, primero evaluamos $g (x) = 3 x + 1$ , y luego elevamos al cuadrado el resultado para obtener $h (x)$ .

Las funciones compuestas pueden ser más complejas, involucrando múltiples funciones internas y externas. Por ejemplo, $\sin (\ln (x^{2} + 1))$ es una función compuesta donde:

La función interna es $x^{2} + 1$ .
La función media es $\ln (x)$ .
La función externa es $\sin (x)$ .

Aquí, tendríamos que aplicar la regla de la cadena varias veces para calcular la derivada.

Pasos para Aplicar la Regla de la Cadena

Identificar la función compuesta: Asegúrate de que la función dada sea una función compuesta, lo que significa que una función está anidada dentro de otra.
Identificar las funciones interna y externa: Determina cuál es la función interna (la que se evalúa primero) y cuál es la función externa (la que toma el resultado de la función interna como su entrada).
Encontrar la derivada de la función externa: Diferencia la función externa, tratando la función interna como una variable.
Encontrar la derivada de la función interna: Diferencia la función interna con respecto a su variable.
Multiplicar las derivadas: Multiplica los resultados de los pasos 3 y 4.
Simplificar el resultado: Si es necesario, simplifica la expresión final obtenida en el paso 5.

Cuándo Usar la Regla de la Cadena

La regla de la cadena se utiliza al diferenciar una función compuesta de la forma $f (g (x))$ . Si la función compuesta se puede escribir como una función externa $f$ aplicada a una función interna $g$ , es decir, $h (x) = f (g (x))$ , entonces se aplica la regla de la cadena.

Algunos ejemplos comunes donde se aplica la regla de la cadena incluyen:

Funciones elevadas a una potencia, por ejemplo, $(x^{2} + 1)^{3}$ .
Funciones trigonométricas con una entrada no trivial, por ejemplo, $\sin (x^{3})$ , $\tan (\sqrt{x})$ .
Funciones exponenciales o logarítmicas con una entrada no trivial, por ejemplo, $e^{\cos (x)}$ , $\ln (x^{2} + 1)$ .

Ejemplos

Veamos un par de ejemplos para solidificar nuestra comprensión.

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de $h (x) = (3 x^{2} + 1)^{5}$

Podemos reescribir $h$ como una función compuesta: $f (g (x))$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = 3 x^{2} + 1$

Aplicando la regla de la cadena:

$h^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

$f^{'} (x) = 5 x^{4}$ , entonces $f^{'} (g (x)) = 5 (3 x^{2} + 1)^{4}$

$g^{'} (x) = 6 x$

Por lo tanto, $h^{'} (x) = 5 (3 x^{2} + 1)^{4} \cdot 6 x = 30 x (3 x^{2} + 1)^{4}$

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de $h (x) = \sin (\ln (x))$

Reescribiendo como una función compuesta: $f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = \ln (x)$