Regla de la Constante en la Diferenciación

La Regla de la Constante es una regla de diferenciación utilizada para encontrar la derivada de una función constante. Una función constante es una función que siempre devuelve el mismo valor, sin importar la entrada. En otras palabras, el gráfico de una función constante es una línea horizontal. La Regla de la Constante establece que la derivada de una función constante es siempre cero.

Derivando la Regla de la Constante

Para entender por qué funciona la Regla de la Constante, derivémosla usando la definición de límite de la derivada. Dada una función constante $f(x)=c$, tenemos:

Dado que $f(x)=c$ y $f(x+h)=c$ (la función siempre devuelve el mismo valor), podemos sustituir estos en la definición de límite:

Así hemos demostrado que la derivada de una función constante es siempre cero.

Importancia de la Regla de la Constante

La Regla de la Constante es una excelente manera de entender el comportamiento de funciones más complejas. Es realmente útil para averiguar si una función polinómica o racional es constante o está basada en potencias (por ejemplo, $g(x)=x^n$, donde $n$ es un número entero positivo).

Al entender que la derivada de un término constante es siempre cero, podemos hacer que el proceso de encontrar derivadas para estas funciones más complejas sea mucho más fácil. Veamos un ejemplo. Cuando diferenciamos un polinomio, la Regla de la Constante nos ayuda a enfocarnos en los términos no constantes. Esto se debe a que la derivada del término constante siempre será cero.

Ejemplo: Aplicando la Regla de la Constante

Consideremos la función $f(x)=5x^3+2x-7$.

Para encontrar la derivada de esta función, podemos aplicar la Regla de la Constante al término constante y la Regla de la Potencia a los términos no constantes:

Usando la Regla de la Potencia para los dos primeros términos y la Regla de la Constante para el último término, obtenemos:

Así, la derivada de $f(x)=5x^3+2x-7$ es $f^{\prime }(x)=15x^2+2$.