Encontrando Derivadas de Funciones Exponenciales con Ejemplos Paso a Paso

Una función exponencial es una función de la forma $f (x) = a^{x}$ , donde $a$ es una constante positiva no igual a 1, y $x$ es una variable. La derivada de una función exponencial describe la tasa de cambio de la función con respecto a su variable.

Fórmula y Definición Formal

La derivada de una función exponencial $f (x) = a^{x}$ , donde $a > 0$ y $a \neq 1$ , se da por:

f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)

Para una función exponencial $f (x) = a^{x}$ , donde $a > 0$ y $a \neq 1$ , la derivada con respecto a $x$ es:

\frac{d}{d x} (a^{x}) = a^{x} \ln (a)

donde $\ln (a)$ es el logaritmo natural de $a$ .

Derivada de la Función Exponencial $e^{x}$

Un caso especial de la función exponencial es $f (x) = e^{x}$ , donde $e$ es el número de Euler (aproximadamente 2.71828). La derivada de $e^{x}$ es particularmente simple:

f^{'} (x) = e^{x}

Esto es porque $\ln (e) = 1$ , así que:

\frac{d}{d x} (e^{x}) = e^{x} \ln (e) = e^{x} \cdot 1 = e^{x}

La Propiedad Única de la Función Exponencial $e^{x}$

La función exponencial $f (x) = e^{x}$ tiene una propiedad única: ¡es su propia derivada! Esto significa que la tasa de cambio de $e^{x}$ es igual a la función misma. En otras palabras, la pendiente de la línea tangente al gráfico de $e^{x}$ en cualquier punto es igual al valor de $e^{x}$ en ese punto.

Esta propiedad hace que la función exponencial, $e^{x}$ , sea realmente especial. De hecho, es tan especial que es una de las funciones más importantes en el cálculo y sus aplicaciones. ¡Es la única función (hasta un múltiplo constante) que tiene esta increíble propiedad! La función exponencial $e^{x}$ aparece en muchos modelos matemáticos de fenómenos naturales, como el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva y el interés compuesto. ¿Por qué? Porque su tasa de cambio es directamente proporcional a su valor actual.

La propiedad única de $e^{x}$ se puede derivar de la definición de la función exponencial y las propiedades de los logaritmos. Consideremos la función $f (x) = a^{x}$ , donde $a > 0$ y $a \neq 1$ . Si establecemos $a = e^{\ln (a)}$ , podemos reescribir la función como:

f (x) = (e^{\ln (a)})^{x} = e^{x \ln (a)}

Usando la regla de la cadena, podemos encontrar la derivada de esta función:

f^{'} (x) = e^{x \ln (a)} \cdot \ln (a)

Si establecemos $a = e$ , entonces $\ln (a) = \ln (e) = 1$ , y obtenemos:

f^{'} (x) = e^{x \ln (e)} \cdot \ln (e) = e^{x} \cdot 1 = e^{x}

Por lo tanto, la función exponencial $f (x) = e^{x}$ es la única función exponencial (hasta un múltiplo constante) que es su propia derivada.

Demostración de la Derivada de una Función Exponencial

Para demostrar la derivada de una función exponencial $f (x) = a^{x}$ , podemos usar la definición de la derivada:

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Paso 1: Sustituir $f (x) = a^{x}$ en la definición de la derivada.

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{a^{x + h} - a^{x}}{h}

Paso 2: Reescribir $a^{x + h}$ como $a^{x} \cdot a^{h}$ .

f^{'} (x) = {lim}_{h \to 0} \frac{a^{x} \cdot a^{h} - a^{x}}{h}

Paso 3: Factorizar $a^{x}$ .

f^{'} (x) = a^{x} {lim}_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h}

Paso 4: Reconocer que ${lim}_{h \to 0} \frac{a^{h} - 1}{h} = \ln (a)$ .

f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)

Por lo tanto, hemos demostrado que la derivada de una función exponencial $f (x) = a^{x}$ es $f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)$ . Esta demostración se basa en las propiedades de los exponentes y logaritmos, así como en la definición de la derivada.

Gráfico de la Derivada de una Función Exponencial

El gráfico de una función exponencial $f (x) = a^{x}$ depende del valor de $a$ :

Si $a > 1$ , la función es creciente y el gráfico crece rápidamente.
Si $0 < a < 1$ , la función es decreciente y el gráfico se aproxima al eje x a medida que $x$ aumenta.

El gráfico de la derivada de una función exponencial $f^{'} (x) = a^{x} \ln (a)$ es similar a la función original, pero está escalado por un factor de $\ln (a)$ :

Si $a > 1$ , entonces $\ln (a) > 0$ , por lo que la derivada es positiva y el gráfico es creciente.
Si $0 < a < 1$ , entonces $\ln (a) < 0$ , por lo que la derivada es negativa y el gráfico es decreciente.

Aquí hay algunos ejemplos de funciones exponenciales y sus derivadas:

$5^{x}$ en azul
$2^{x}$ en naranja
${(\frac{1}{2})}^{x}$ en verde

Los gráficos ilustran la relación entre una función exponencial y su derivada, con las líneas sólidas representando las funciones originales y las líneas discontinuas sus derivadas. La derivada de una función exponencial es proporcional a la función original, donde la constante de proporcionalidad es $\ln (a)$ . Para $0 < a < 1$ , la función $a^{x}$ decae a medida que $x$ aumenta, y su derivada, que también decae, tiene un valor negativo porque $\ln (a)$ es negativo. El resultado es que tanto la función como su derivada son funciones decrecientes. Por el contrario, para $a > 1$ , la función $a^{x}$ crece exponencialmente y su derivada, escalada por $\ln (a)$ , es positiva y también creciente.

Otra propiedad de todas las funciones exponenciales es que sus gráficos pasan por el punto (0, 1), ya que $a^{0} = 1$ .

Aplicaciones de la Derivada de Funciones Exponenciales

La derivada de las funciones exponenciales tiene numerosas aplicaciones en diversos campos:

Crecimiento poblacional: Las funciones exponenciales pueden modelar el crecimiento de poblaciones, y sus derivadas describen la tasa de cambio de la población a lo largo del tiempo.

. Desintegración radiactiva: La desintegración de sustancias radiactivas sigue una ley exponencial, y la derivada de esta función da la tasa de desintegración en cualquier momento dado.

Interés compuesto: El crecimiento de una inversión con interés compuesto puede modelarse mediante una función exponencial, y su derivada representa la tasa de cambio instantánea del valor de la inversión.
Enfriamiento y calentamiento: La ley de enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente, lo que lleva a funciones exponenciales y sus derivadas.
Reacciones químicas: Las tasas de muchas reacciones químicas se describen mediante funciones exponenciales, y sus derivadas dan la tasa de cambio instantánea de las concentraciones de reactivos o productos.

Ejemplos

Encuentra la derivada de $f (x) = 3^{x} + 3^{x^{2}}$ .
Usando la regla de la suma y la regla de la cadena, obtenemos:
$f^{'} (x) = 3^{x} \ln (3) + 3^{x^{2}} \cdot 2 x \ln (3)$
Encuentra la derivada de $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + x}$ .
Usando la regla del cociente, obtenemos:
$f^{'} (x) = \frac{e^{x} (1 + x) - e^{x}}{(1 + x)^{2}} = \frac{x e^{x}}{(1 + x)^{2}}$
La población de una ciudad está creciendo exponencialmente según la función $P (t) = 50000 \cdot {1.03}^{t}$ , donde $t$ es el número de años desde el 2000. Encuentra la tasa de crecimiento poblacional en el año 2050.
Primero, encontramos la derivada de $P (t)$ :
$P^{'} (t) = 50000 \cdot {1.03}^{t} \ln (1.03)$
Luego, calculamos la tasa de crecimiento en 2050 evaluando $P^{'} (50)$ :
$P^{'} (50) = 50000 \cdot {1.03}^{50} \ln (1.03) \approx 6479 personas por año$

Derivadas de Funciones Exponenciales