Derivada de tanh(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Empezamos definiendo $\tanh (x)$ como $\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$. Para encontrar la derivada, utilizamos la regla del cociente, que establece que la derivada de un cociente $\frac{u}{v}$ es $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Aquí, sea $u=\sinh (x)$ y $v=\cosh (x)$. Las derivadas son $u^{\prime }=\cosh (x)$ y $v^{\prime }=\sinh (x)$.

Aplicando la regla del cociente, tenemos:

Esto se simplifica a:

Usando la identidad ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$, obtenemos:

Por lo tanto, la derivada de $\tanh (x)$ es:

Explicación

Para entender la derivada de $\tanh (x)$, comencemos reconociendo que $\tanh (x)$ se define como la razón entre la función seno hiperbólico $\sinh (x)$ y la función coseno hiperbólico $\cosh (x)$, por lo que $\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}$. Esto representa la tangente hiperbólica, que se utiliza comúnmente en cálculo y geometría hiperbólica.

Para encontrar la derivada de $\tanh (x)$, aplicamos la regla del cociente. La regla del cociente nos ayuda a diferenciar funciones que se expresan como el cociente de otras dos funciones. Específicamente, si una función se da como $\frac{u}{v}$, su derivada es $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, donde $u$ y $v$ son funciones diferenciables de $x$.

En el caso de $\tanh (x)$, tenemos $u=\sinh (x)$ y $v=\cosh (x)$. La derivada de $\sinh (x)$ es $\cosh (x)$, y la derivada de $\cosh (x)$ es $\sinh (x)$.

Aplicando la regla del cociente, sustituimos las derivadas:

El numerador se simplifica a ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)$. Según la identidad hiperbólica, ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$. Esto simplifica toda la expresión a:

La expresión $\frac{1}{{\cosh }^2(x)}$ es la definición de ${\text{sech}}^2(x)$, que representa el cuadrado de la función secante hiperbólica.

Por lo tanto, la derivada de $\tanh (x)$ con respecto a $x$ es $\boxed{{\text{sech}}^2(x)}$.

Q.E.D.