Derivada de tan(x) - Demostración y Explicación

Demostración #1

Explicación

Aquí está la explicación paso a paso de la demostración de la derivada de la tangente, con las partes matemáticas formateadas en LaTeX:

1. La demostración comienza con la definición de la función tangente:

   $\tan x=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

2. Luego se usan las derivadas previamente demostradas de seno y coseno:

   $\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x)$ $\frac{d}{dx}\cos (x)=-\sin (x)$

3. Luego se aplica la regla del cociente para las derivadas. Esta regla establece que para dos funciones $u(x)$ y $v(x)$:

   $\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{v(x)\frac{d}{dx}u(x)-u(x)\frac{d}{dx}v(x)}{[v(x){]}^2}$

   En este caso, $u(x)=\sin (x)$ y $v(x)=\cos (x)$. Aplicando la regla del cociente obtenemos:

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{\cos (x)\cos (x)-\sin (x)(-\sin (x))}{{\cos }^2(x)}$

4. El numerador se simplifica utilizando la identidad trigonométrica estándar ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$:

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{{\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)}{{\cos }^2(x)}$

5. Usando la identidad del paso 4, el numerador se simplifica a 1:

   $\frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$

6. La demostración es válida solo cuando $\cos (x)\ne 0$, ya que la división por cero no está definida.

7. Finalmente, el resultado se deduce del hecho de que $\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$ (la secante es el recíproco del coseno).

Por lo tanto, la derivada de $\tan (x)$ es ${\sec }^2(x)$.

Demostración #2

Explicación

1. La demostración comienza con la definición de la derivada de una función real en un punto. En este caso, es la derivada de la tangente con respecto a $x$, que es el límite cuando $h$ tiende a $0$ de $\frac{\tan (x+h)-\tan x}{h}$.

2. El siguiente paso usa la identidad trigonométrica para la tangente de una suma: $\tan (A+B)=\frac{\tan (A)+\tan (B)}{1-\tan (A)\tan (B)}$. Aquí, $A$ es $x$ y $B$ es $h$. Aplicando esta identidad a $\tan (x+h)$, obtenemos: $\frac{\tan (x)+\tan (h)}{1-\tan (x)\tan (h)}$.

3. Luego se expande el numerador sumando y restando $\tan (x)$: $\frac{\tan (x)+\tan (h)-\tan (x)+{\tan }^2(x)\tan (h)}{1-\tan (x)\tan (h)}$.

4. El numerador se factoriza y el denominador se multiplica por $h$: $\frac{\tan (h)+{\tan }^2(x)\tan (h)}{h(1-\tan (x)\tan (h))}$.

5. Se aplica la regla del producto para límites, dividiendo el límite en el producto de dos límites: ${lim}_{h\to 0}\frac{1+{\tan }^2(x)}{1-\tan (x)\tan (h)}·{lim}_{h\to 0}\frac{\tan (h)}{h}$.

6. El segundo límite es un límite estándar: ${lim}_{h\to 0}\frac{\tan (h)}{h}=1$. En el primer límite, $\tan (0)=0$, así que cuando $h\to 0$, $\tan (h)\to 0$. Por lo tanto, el primer límite se evalúa como $\frac{1+{\tan }^2(x)}{1-\tan (x)\tan 0}=1+{\tan }^2(x)$.

7. El resultado se simplifica usando la identidad trigonométrica $1+{\tan }^2(x)={\sec }^2(x)$.

8. Finalmente, el resultado se expresa en términos de coseno usando la identidad $\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$, siempre que $\cos (x)\ne 0$.

Por lo tanto, la derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\boxed{{\sec }^2(x)}$ o $\frac{1}{{\cos }^2(x)}$, siempre que $\cos (x)\ne 0$.