Derivada de la Raíz Cuadrada sqrt(x) - Demostración y Explicación

Demostración

1. Definición de $\sqrt{x}$:

   $$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

2. Usando la regla de la potencia:

   $$\text{Si }y=x^n,\text{ entonces }{y}^{\prime }=n{x}^{n-1}$$

   Sea $n=\frac{1}{2}$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}$$

3. Simplificamos la expresión:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$$

4. Reescribimos usando la raíz cuadrada:

   $$x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Por lo tanto, la derivada de $\sqrt{x}$ es:

Explicación

Para entender la derivada de $\sqrt{x}$, comenzamos expresando $\sqrt{x}$ como una potencia de $x$. Específicamente, $\sqrt{x}$ se puede escribir como $x^{\frac{1}{2}}$. Esta forma nos permite usar la regla de la potencia para la diferenciación.

La regla de la potencia establece que si tenemos una función $x^n$, su derivada con respecto a $x$ es $n{x}^{n-1}$. Aquí, nuestro exponente $n$ es $\frac{1}{2}$.

Aplicando la regla de la potencia a $x^{\frac{1}{2}}$, obtenemos:

A continuación, simplificamos el exponente $\frac{1}{2}-1$, que es igual a $-\frac{1}{2}$. Por lo tanto, nuestra expresión para la derivada se convierte en:

Para hacer esta expresión más familiar, reescribimos $x^{-\frac{1}{2}}$ usando la notación de la raíz cuadrada. Dado que $x^{-\frac{1}{2}}$ es lo mismo que $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$, y $x^{\frac{1}{2}}$ es $\sqrt{x}$, obtenemos:

Sustituyendo esto de nuevo en nuestra expresión para la derivada, tenemos:

Por lo tanto, la derivada de $\sqrt{x}$ con respecto a $x$ es $\boxed{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$.

Q.E.D.