Derivada de sinh(x) - Demostración y Explicación

Demostración

La función seno hiperbólico se define como:

\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

Para encontrar la derivada, usamos la derivada de las funciones exponenciales. La derivada de $e^{x}$ es $e^{x}$ , y la derivada de $e^{- x}$ es $- e^{- x}$ .

Ahora, diferenciando $\sinh (x)$ :

\frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) = \frac{1}{2} (e^{x} - (- e^{- x}))

Esto se simplifica a:

\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) = \cosh (x)

Por lo tanto, la derivada de $\sinh (x)$ es:

\frac{d}{d x} \sinh (x) = \cosh (x)

Explicación

La función seno hiperbólico, $\sinh (x)$ , es similar a la función seno pero basada en funciones exponenciales. Se define como:

\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

Esta expresión representa la diferencia entre el crecimiento exponencial $e^{x}$ y la decaimiento exponencial $e^{- x}$ , dividido por dos.

Para encontrar la derivada, diferenciamos cada parte de la función. La derivada de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ , y la derivada de $e^{- x}$ con respecto a $x$ es $- e^{- x}$ . Esto se debe a la regla de la cadena, donde la derivada de $- x$ es $- 1$ .

Sustituyendo estas derivadas en la fórmula para $\sinh (x)$ :

\frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) = \frac{1}{2} (e^{x} - (- e^{- x}))

Esto se simplifica a:

\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})

Esta expresión es exactamente la definición de $\cosh (x)$ , la función coseno hiperbólico:

\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = \cosh (x)

Q.E.D.