Derivada de sin(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Explicación

1. La demostración comienza estableciendo la definición de la derivada de una función real en un punto. En este caso, es la derivada del seno con respecto a $x$, que es el límite cuando $h$ se aproxima a $0$ de $\frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}$.

2. El siguiente paso utiliza la identidad trigonométrica para el seno de una suma: $\sin (A+B)=\sin (A)\cos (B)+\cos (A)\sin (B)$. Aquí, $A$ es $x$ y $B$ es $h$. Aplicando esta identidad a $\sin (x+h)$, obtenemos: $\sin (x)\cos (h)+\sin (h)\cos (x)$.

3. El numerador se reordena agrupando los términos que contienen $\sin (x)$. Específicamente, $\sin (x)$ se factoriza de los términos involucrados, y $\sin (x)\cos (h)-\sin (x)$ se factoriza como $\sin (x)(\cos (h)-1)$, y $\sin (h)\cos (x)$ queda como está. El denominador $h$ permanece sin cambios.

4. El límite se divide en dos partes utilizando la regla de la suma para límites. Esta regla establece que el límite de una suma es igual a la suma de los límites, siempre que existan ambos límites. Así que ahora tenemos dos límites: uno para $\frac{\sin (x)(\cos (h)-1)}{h}$ y otro para $\frac{\sin (h)\cos (x)}{h}$.

5. Podemos evaluar cada uno de estos límites por separado. El límite de $\frac{\sin (h)}{h}$ cuando $h$ se aproxima a $0$ es igual a $1$ (este es un límite estándar). El límite de $\frac{\cos (h)-1}{h}$ cuando $h$ se aproxima a $0$ es igual a $0$ (este es otro límite estándar). Cuando multiplicamos estos límites por $\sin (x)$ y $\cos (x)$ respectivamente, obtenemos $\sin (x)·0$ y $1·\cos (x)$.

6. Sumando estos resultados según la regla de la suma para límites, obtenemos $0+\cos (x)$, que se simplifica a $\cos (x)$.

QED: Por lo tanto, la derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\boxed{\cos (x)}$.