Derivada de sec(x) - Demostración y Explicación

Para encontrar la derivada de $\sec (x)$ , comenzamos reescribiéndola en una forma que pueda ser más fácil de diferenciar. Recordemos que:

\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)}

Para diferenciar esto, usamos la <strong>regla del cociente</strong>. La regla del cociente establece que para dos funciones $u (x)$ y $v (x)$ , la derivada de su cociente $\frac{u}{v}$ está dada por:

\frac{d}{d x} (\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v^{2}}

En nuestro caso:

$u = 1$ (el numerador)
$v = \cos (x)$ (el denominador)

Paso 1: Diferenciar $u$ y $v$

La derivada de $u$ con respecto a $x$ es $0$ porque $u = 1$ – una constante.
La derivada de $v = \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

Paso 2: Aplicar la regla del cociente

Insertamos estos en la regla del cociente:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos (x) \cdot 0 - 1 \cdot (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}

Esto se simplifica a:

\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}

Paso 3: Simplificar el resultado

Ahora, podemos reescribir esta expresión en términos de otras funciones trigonométricas:

\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \tan (x) \cdot \sec (x)

Así, la derivada de $\sec (x)$ es:

\sec (x) \cdot \tan (x)

Q.E.D.