Derivada de log(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Sea $y=\ln (x)$. Para encontrar la derivada, utilizamos la definición del logaritmo natural:

1. Reescribimos $y=\ln (x)$ como $x=e^y$.

2. Diferenciamos ambos lados con respecto a $x$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}(e^y)$$

3. Esto nos da:

   $$1=e^y\frac{dy}{dx}$$

4. Resolviendo para $\frac{dy}{dx}$:

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}$$

5. Sustituimos $e^y=x$:

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$$

Por lo tanto, la derivada de $\ln (x)$ es:

Explicación

La función logaritmo natural, $\ln (x)$, es la inversa de la función exponencial $e^x$. Para encontrar la derivada, comenzamos estableciendo $y=\ln (x)$. Esto significa que $x$ puede expresarse como $e^y$.

Al diferenciar ambos lados con respecto a $x$, el lado izquierdo simplemente se convierte en $1$. Para el lado derecho, usando la regla de la cadena, la derivada de $e^y$ con respecto a $x$ es $e^y\frac{dy}{dx}$.

Igualando estas expresiones obtenemos la ecuación $1=e^y\frac{dy}{dx}$. Luego resolvemos para $\frac{dy}{dx}$, lo que implica dividir ambos lados por $e^y$. Esto se simplifica a $\frac{1}{e^y}$.

Finalmente, dado que $e^y=x$ (de nuestra sustitución original), podemos sustituir de nuevo para obtener $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$.

Por lo tanto, la derivada de $\ln (x)$ es $\boxed{\frac{1}{x}}$.

Q.E.D.