Derivada de csc(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Comenzamos definiendo $\csc (x)$ como $\frac{1}{\sin (x)}$. Para encontrar la derivada, usamos la regla del cociente, que establece que la derivada de un cociente $\frac{u}{v}$ es $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Aquí, dejamos $u=1$ y $v=\sin (x)$. La derivada de $u$ con respecto a $x$ es $0$ ya que es una constante, y la derivada de $v=\sin (x)$ es $\cos (x)$.

Aplicando la regla del cociente, tenemos:

Luego, simplificamos $-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$. Esto se puede reescribir como $-\frac{1}{\sin (x)}·\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$, lo que simplifica a $-\csc (x)\cot (x)$.

Por lo tanto, la derivada de $\csc (x)$ es:

Explicación

Para entender esta derivada, primero reconocemos que $\csc (x)$ es el recíproco de la función seno, definida como $\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$. Esto significa que para cualquier ángulo $x$, $\csc (x)$ representa la razón de la hipotenusa al lado opuesto en un triángulo rectángulo.

Al encontrar la derivada de $\csc (x)$, usamos la regla del cociente porque implica la división de dos funciones. De acuerdo con la regla del cociente, la derivada de una función expresada como $\frac{u}{v}$ es $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, donde $u$ y $v$ son funciones de $x$.

En nuestro caso, elegimos $u=1$ (una función constante) y $v=\sin (x)$. La derivada de una constante $(1)$ es $0$, y la derivada de $\sin (x)$ es $\cos (x)$.

Aplicando estas derivadas en la regla del cociente, encontramos:

Esto simplifica a $-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$ ya que el término $0·\sin (x)$ es cero y $-1·\cos (x)$ es $-\cos (x)$.

Luego, simplificamos $-\frac{\cos (x)}{{\sin }^2(x)}$. Puede expresarse como $-\frac{1}{\sin (x)}·\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$. Aquí, $\frac{1}{\sin (x)}$ es la definición de $\csc (x)$, y $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ es $\cot (x)$. Por lo tanto, la expresión se simplifica a $-\csc (x)\cot (x)$.

Por lo tanto, la derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $\boxed{-\csc (x)·\cot (x)}$.