Derivada de coth(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Para encontrar la derivada de $\coth (x)$, comenzamos con su definición:

Usando la regla del cociente, que establece que la derivada de un cociente $\frac{u}{v}$ es:

Sea $u=\cosh (x)$ y $v=\sinh (x)$. Las derivadas son $u^{\prime }=\sinh (x)$ y $v^{\prime }=\cosh (x)$.

Aplicando la regla del cociente:

Simplificando el numerador:

Por lo tanto, la derivada se convierte en:

Entonces, la derivada de $\coth (x)$ es:

Explicación

Para entender la derivada de $\coth (x)$, comenzamos reconociendo su definición como la función cotangente hiperbólica, expresada como $\coth (x)=\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$. Esta función representa la razón del coseno hiperbólico al seno hiperbólico.

Usamos la regla del cociente para encontrar la derivada de un cociente de dos funciones. Según esta regla, para una función $\frac{u}{v}$, la derivada es $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, donde $u$ y $v$ son funciones de $x$.

En el caso de $\coth (x)$, establecemos $u=\cosh (x)$ y $v=\sinh (x)$. La derivada de $\cosh (x)$ es $\sinh (x)$, y la derivada de $\sinh (x)$ es $\cosh (x)$.

Aplicando estas derivadas en la regla del cociente, tenemos:

El numerador se simplifica a ${\sinh }^2(x)-{\cosh }^2(x)$. Según la identidad ${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1$, sabemos que ${\sinh }^2(x)-{\cosh }^2(x)=-1$.

Por lo tanto, la expresión se convierte en:

Dado que $\frac{1}{{\sinh }^2(x)}$ es ${\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)$, el resultado final es:

Q.E.D.