Derivada de cot(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Comenzamos definiendo cot(x) como cos(x)sin(x). Para encontrar la derivada, usamos la regla del cociente, que establece que la derivada de un cociente uv es uvuvv2.

Sea u=cos(x) y v=sin(x). La derivada de cos(x) es sin(x), y la derivada de sin(x) es cos(x).

Aplicando la regla del cociente:

ddxcot(x)=(sin(x))·sin(x)cos(x)·cos(x)sin2(x) =sin2(x)cos2(x)sin2(x)

Usando la identidad pitagórica sin2(x)+cos2(x)=1:

=1sin2(x)=csc2(x)

Por lo tanto, la derivada de cot(x) es:

ddxcot(x)=csc2(x)

Explicación

Para entender esta derivada, comencemos reconociendo que cot(x) se define como cos(x)sin(x), que es la razón de la función coseno con la función seno. Esto significa que para cualquier ángulo x, cot(x) da la razón del lado adyacente al lado opuesto en un triángulo rectángulo.

Al encontrar la derivada de cot(x), usamos la regla del cociente. Esta regla se usa al diferenciar un cociente de dos funciones. Establece que si tenemos una función expresada como uv, la derivada es uvuvv2, donde u y v son funciones de x.

Aquí, elegimos u=cos(x) y v=sin(x). La derivada de cos(x) con respecto a x es sin(x), y la derivada de sin(x) es cos(x).

Aplicando la regla del cociente:

ddxcot(x)=(sin(x))·sin(x)cos(x)·cos(x)sin2(x)

Esto se simplifica a sin2(x)cos2(x)sin2(x). Usando la identidad pitagórica sin2(x)+cos2(x)=1, simplificamos el numerador a 1, resultando en:

1sin2(x)

Esto se puede reescribir como csc2(x), ya que csc(x)=1sin(x).

Por lo tanto, la derivada de cot(x) con respecto a x es csc2(x).

Q.E.D.