Derivada de cot(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Comenzamos definiendo $\cot (x)$ como $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$. Para encontrar la derivada, usamos la regla del cociente, que establece que la derivada de un cociente $\frac{u}{v}$ es $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

Sea $u=\cos (x)$ y $v=\sin (x)$. La derivada de $\cos (x)$ es $-\sin (x)$, y la derivada de $\sin (x)$ es $\cos (x)$.

Aplicando la regla del cociente:

Usando la identidad pitagórica ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$:

Por lo tanto, la derivada de $\cot (x)$ es:

Explicación

Para entender esta derivada, comencemos reconociendo que $\cot (x)$ se define como $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$, que es la razón de la función coseno con la función seno. Esto significa que para cualquier ángulo $x$, $\cot (x)$ da la razón del lado adyacente al lado opuesto en un triángulo rectángulo.

Al encontrar la derivada de $\cot (x)$, usamos la regla del cociente. Esta regla se usa al diferenciar un cociente de dos funciones. Establece que si tenemos una función expresada como $\frac{u}{v}$, la derivada es $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, donde $u$ y $v$ son funciones de $x$.

Aquí, elegimos $u=\cos (x)$ y $v=\sin (x)$. La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $-\sin (x)$, y la derivada de $\sin (x)$ es $\cos (x)$.

Aplicando la regla del cociente:

Esto se simplifica a $\frac{-{\sin }^2(x)-{\cos }^2(x)}{{\sin }^2(x)}$. Usando la identidad pitagórica ${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$, simplificamos el numerador a $-1$, resultando en:

Esto se puede reescribir como $-{\csc }^2(x)$, ya que $\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$.

Por lo tanto, la derivada de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\boxed{-{\csc }^2(x)}$.

Q.E.D.