Derivada de cosh(x) - Demostración y Explicación

Demostración

La función coseno hiperbólico se define como:

\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

Para encontrar la derivada, diferenciamos usando la regla de la suma:

\frac{d}{d x} \cosh (x) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})

Diferenciando cada término:

\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} e^{x} + \frac{d}{d x} e^{- x})

= \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})

Esto se simplifica a:

\sinh (x)

Por lo tanto, la derivada de $\cosh (x)$ es:

\frac{d}{d x} \cosh (x) = \sinh (x)

Explicación

La función coseno hiperbólico, $\cosh (x)$ , se define como $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ . Esta fórmula combina las funciones exponenciales $e^{x}$ y $e^{- x}$ , que son fundamentales en matemáticas.

Para diferenciar $\cosh (x)$ , usamos las reglas básicas de diferenciación. La función se puede descomponer en $\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ . Aquí, $\frac{1}{2}$ es un factor constante que podemos factorizar durante la diferenciación.

Luego aplicamos la regla de la diferenciación a cada parte de la expresión. La derivada de $e^{x}$ es simplemente $e^{x}$ , y la derivada de $e^{- x}$ es $- e^{- x}$ debido a la regla de la cadena.

Juntando estos resultados, la derivada se convierte en $\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ . Esta expresión es la definición de $\sinh (x)$ , la función seno hiperbólico. Por lo tanto, la derivada de $\cosh (x)$ es $\sinh (x)$ .

Q.E.D.