Derivada de cos(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Explicación

1. La demostración comienza enunciando la definición de la derivada de una función real en un punto. En este caso, es la derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$, que es el límite cuando $h$ tiende a $0$ de $\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}$.

2. El siguiente paso utiliza la identidad trigonométrica para el coseno de una suma: $\cos (A+B)=\cos (A)\cos (B)-\sin (A)\sin (B)$. Aquí, $A$ es $x$ y $B$ es $h$. Aplicando esta identidad a $\cos (x+h)$, obtenemos: $\cos (x)\cos (h)-\sin (x)\sin (h)$.

3. El numerador se reordena separando los términos que involucran $\cos (x)$ y $\sin (x)$. Específicamente, se factoriza $\cos (x)$ de los términos que lo involucran, y se escribe la expresión como $\cos (x)(\cos (h)-1)-\sin (x)\sin (h)$. El denominador $h$ permanece sin cambios.

4. El límite se divide en dos partes usando la regla de la suma para límites. Esta regla establece que el límite de una suma es igual a la suma de los límites, siempre que ambos límites existan. Así que ahora tenemos dos límites: uno para $\frac{\cos (x)(\cos (h)-1)}{h}$ y otro para $\frac{-\sin (x)\sin (h)}{h}$.

5. Podemos evaluar cada uno de estos límites por separado. El límite de $\frac{\sin (h)}{h}$ cuando $h$ tiende a $0$ es igual a $1$ (este es un límite estándar). El límite de $\frac{\cos (h)-1}{h}$ cuando $h$ tiende a $0$ es igual a $0$ (este es otro límite estándar). Cuando multiplicamos estos límites por $\cos (x)$ y $-\sin (x)$ respectivamente, obtenemos $\cos (x)·0$ y $-\sin (x)·1$.

6. Sumando estos resultados según la regla de la suma para límites, obtenemos $0-\sin (x)$, que se simplifica a $-\sin (x)$.

QED: Por lo tanto, la derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\boxed{-\sin (x)}$.