Derivada de atanh(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Comenzamos definiendo $y = atanh (x)$ , lo que significa $x = \tanh (y)$ .

Definición y diferenciación implícita:
$y = atanh (x) ⟹ x = \tanh (y)$
Derivada de $\tanh (y)$ :
$\frac{d}{d y} \tanh (y) = {sech}^{2} (y)$
Diferenciando implícitamente con respecto a $x$ :
$\frac{d x}{d y} = {sech}^{2} (y)$
Recíproco para encontrar $\frac{d y}{d x}$ :
$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{sech}^{2} (y)}$
Simplificando usando la identidad $sech (y) = \frac{1}{\cosh (y)}$ :
${sech}^{2} (y) = \frac{1}{\cosh^{2} (y)}$
Entonces,
$\frac{d y}{d x} = \cosh^{2} (y)$
Expresar $\cosh^{2} (y)$ en términos de $x$ : A partir de la identidad $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ y sabiendo que $\tanh (y) = x$ , tenemos $\sinh (y) = x \cosh (y)$ . Por lo tanto,
$\cosh^{2} (y) - x^{2} \cosh^{2} (y) = 1 ⟹ \cosh^{2} (y) (1 - x^{2}) = 1 ⟹ \cosh^{2} (y) = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Por lo tanto,

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x^{2}}

Así, la derivada de $atanh (x)$ es:

\frac{d}{d x} atanh (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}

Explicación

Para entender la derivada de $atanh (x)$ , primero definimos $y = atanh (x)$ , lo que significa que $x$ es la tangente hiperbólica de $y$ . Esta relación se puede escribir como $x = \tanh (y)$ .

La función $\tanh (y)$ es una función hiperbólica, similar a las funciones trigonométricas pero para ángulos hiperbólicos. Su derivada con respecto a $y$ es ${sech}^{2} (y)$ , donde $sech (y)$ es la secante hiperbólica, definida como $\frac{1}{\cosh (y)}$ .

Usando diferenciación implícita, diferenciamos ambos lados de $x = \tanh (y)$ con respecto a $x$ . Esto nos da:

\frac{d x}{d y} = {sech}^{2} (y)

Para encontrar $\frac{d y}{d x}$ , tomamos el recíproco de $\frac{d x}{d y}$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{sech}^{2} (y)}

A continuación, simplificamos $\frac{1}{{sech}^{2} (y)}$ . Como $sech (y) = \frac{1}{\cosh (y)}$ , tenemos ${sech}^{2} (y) = \frac{1}{\cosh^{2} (y)}$ . Por lo tanto,

\frac{1}{{sech}^{2} (y)} = \cosh^{2} (y)

Para expresar $\cosh^{2} (y)$ en términos de $x$ , usamos la identidad $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ . Sabiendo que $\tanh (y) = x$ , obtenemos $\sinh (y) = x \cosh (y)$ . Sustituyendo esto en la identidad, obtenemos:

\cosh^{2} (y) - x^{2} \cosh^{2} (y) = 1 ⟹ \cosh^{2} (y) (1 - x^{2}) = 1 ⟹ \cosh^{2} (y) = \frac{1}{1 - x^{2}}

Por lo tanto, la derivada de $atanh (x)$ es:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x^{2}}

Q.E.D.