Derivada de atan(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Queremos encontrar la derivada de arctan(x). Sea y=arctan(x). Entonces, por definición, x=tan(y).

Tomando la derivada de ambos lados con respecto a x:

ddx(x)=ddx(tan(y)) 1=sec2(y)·dydx

Ahora, resolvemos para dydx:

dydx=1sec2(y)

Usando la identidad sec2(y)=1+tan2(y) y sabiendo que tan(y)=x:

dydx=11+x2

Por lo tanto, la derivada de arctan(x) es:

ddxarctan(x)=11+x2

Explicación

Para encontrar la derivada de arctan(x), comenzamos por dejar y=arctan(x). Esto significa que x=tan(y), representando el ángulo cuya tangente es x.

A continuación, diferenciamos ambos lados de la ecuación x=tan(y) con respecto a x. La derivada de x con respecto a x es simplemente 1.

En el lado derecho, la derivada de tan(y) con respecto a y es sec2(y), y por la regla de la cadena, multiplicamos por dydx, lo que nos da sec2(y)·dydx.

Igualando las derivadas, obtenemos:

1=sec2(y)·dydx

Luego resolvemos para dydx dividiendo ambos lados por sec2(y):

dydx=1sec2(y)

Usamos la identidad trigonométrica sec2(y)=1+tan2(y). Dado que tan(y)=x (de nuestra definición anterior), sustituimos x por tan(y):

sec2(y)=1+x2

Por lo tanto, la expresión para la derivada se simplifica a:

dydx=11+x2

Q.E.D.