Derivada de atan(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Queremos encontrar la derivada de $\arctan (x)$ . Sea $y = \arctan (x)$ . Entonces, por definición, $x = \tan (y)$ .

Tomando la derivada de ambos lados con respecto a $x$ :

\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\tan (y))

1 = \sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}

Ahora, resolvemos para $\frac{d y}{d x}$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}

Usando la identidad $\sec^{2} (y) = 1 + \tan^{2} (y)$ y sabiendo que $\tan (y) = x$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Por lo tanto, la derivada de $\arctan (x)$ es:

\frac{d}{d x} \arctan (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

Explicación

Para encontrar la derivada de $\arctan (x)$ , comenzamos por dejar $y = \arctan (x)$ . Esto significa que $x = \tan (y)$ , representando el ángulo cuya tangente es $x$ .

A continuación, diferenciamos ambos lados de la ecuación $x = \tan (y)$ con respecto a $x$ . La derivada de $x$ con respecto a $x$ es simplemente $1$ .

En el lado derecho, la derivada de $\tan (y)$ con respecto a $y$ es $\sec^{2} (y)$ , y por la regla de la cadena, multiplicamos por $\frac{d y}{d x}$ , lo que nos da $\sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}$ .

Igualando las derivadas, obtenemos:

1 = \sec^{2} (y) \cdot \frac{d y}{d x}

Luego resolvemos para $\frac{d y}{d x}$ dividiendo ambos lados por $\sec^{2} (y)$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec^{2} (y)}

Usamos la identidad trigonométrica $\sec^{2} (y) = 1 + \tan^{2} (y)$ . Dado que $\tan (y) = x$ (de nuestra definición anterior), sustituimos $x$ por $\tan (y)$ :

\sec^{2} (y) = 1 + x^{2}

Por lo tanto, la expresión para la derivada se simplifica a:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}

Q.E.D.