Derivada de asinh(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Comenzamos definiendo $y = asinh (x)$ . Por definición, la función arco seno hiperbólico inversa significa:

x = \sinh (y)

donde $\sinh (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

Para encontrar la derivada de $asinh (x)$ , primero diferenciamos implícitamente $x = \sinh (y)$ con respecto a $x$ :

1 = \cosh (y) \frac{d y}{d x}

Aquí, $\cosh (y)$ es la función coseno hiperbólico, que se define como:

\cosh (y) = \frac{e^{y} + e^{- y}}{2}

Reorganizando para $\frac{d y}{d x}$ , obtenemos:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cosh (y)}

Ahora necesitamos expresar $\cosh (y)$ en términos de $x$ . Usando la identidad $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ , obtenemos:

\cosh^{2} (y) = 1 + \sinh^{2} (y)

Dado que $\sinh (y) = x$ , esto se convierte en:

\cosh^{2} (y) = 1 + x^{2}

Por lo tanto, $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ . Sustituyendo esto de nuevo en la expresión para $\frac{d y}{d x}$ , obtenemos:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

Por lo tanto, la derivada de $asinh (x)$ es:

\frac{d}{d x} asinh (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

Explicación

Para entender esta derivada, primero reconocemos que $asinh (x)$ es la función arco seno hiperbólico inversa, lo que significa que si $y = asinh (x)$ , entonces $x = \sinh (y)$ . La función seno hiperbólico, $\sinh (y)$ , se define como $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

Para encontrar la derivada de $asinh (x)$ , diferenciamos la ecuación $x = \sinh (y)$ implícitamente con respecto a $x$ . Diferenciando ambos lados, obtenemos $1 = \cosh (y) \frac{d y}{d x}$ , donde $\cosh (y)$ es la función coseno hiperbólico definida como $\frac{e^{y} + e^{- y}}{2}$ .

Resolviendo para $\frac{d y}{d x}$ , tenemos $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cosh (y)}$ . A continuación, necesitamos expresar $\cosh (y)$ en términos de $x$ . Usando la identidad $\cosh^{2} (y) - \sinh^{2} (y) = 1$ , sustituimos $\sinh (y) = x$ , obteniendo $\cosh^{2} (y) = 1 + x^{2}$ . Esto significa que $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ .

Sustituyendo $\cosh (y) = \sqrt{1 + x^{2}}$ de nuevo en nuestra expresión para $\frac{d y}{d x}$ , encontramos que $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ . Por lo tanto, la derivada de $asinh (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

Q.E.D.