Derivada de asin(x) - Demostración y Explicación

Para encontrar la derivada de $\arcsin (x)$ , comenzamos dejando:

y = \arcsin (x)

Esto implica que:

\sin (y) = x

Paso 1: Diferenciar ambos lados

Diferenciando $\sin (y) = x$ con respecto a $x$ , aplicamos diferenciación implícita:

\cos (y) \frac{d y}{d x} = 1

Aquí, $\cos (y)$ es la derivada de $\sin (y)$ con respecto a $y$ , y $\frac{d y}{d x}$ es la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

Paso 2: Resolver para $\frac{d y}{d x}$

Reorganizamos la ecuación para resolver la derivada:

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos (y)}

Paso 3: Expresar $\cos (y)$ en términos de $x$

Utilizamos la identidad pitagórica:

\cos^{2} (y) = 1 - \sin^{2} (y)

Tomando la raíz cuadrada:

\cos (y) = \sqrt{1 - \sin^{2} (y)}

Como $\sin (y) = x$ , sustituimos:

\cos (y) = \sqrt{1 - x^{2}}

Paso 4: Derivada final

Sustituyendo $\cos (y)$ de nuevo en la expresión para $\frac{d y}{d x}$ :

\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Por lo tanto, la derivada de $\arcsin (x)$ es:

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Q.E.D.