Derivada de acosh(x) - Demostración y Explicación

Demostración

1. Definición de $\text{acosh}(x)$:

   $$y=\text{acosh}(x)⟹x=\cosh (y)$$

   donde $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$.

2. Diferenciamos ambos lados con respecto a $x$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}x=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\cosh (y)$$

3. Usando la regla de la cadena en el lado derecho:

   $$1=\sinh (y)·\frac{dy}{dx}$$

   donde $\sinh (y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$.

4. Resolvemos para $\frac{dy}{dx}$:

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sinh (y)}$$

5. Expresamos $\sinh (y)$ en términos de $x$:

   $${\cosh }^2(y)-1={\sinh }^2(y)$$

   Dado que $x=\cosh (y)$,

   $${\sinh }^2(y)=x^2-1⟹\sinh (y)=\sqrt{x^2-1}$$

6. Sustituimos de nuevo en la derivada:

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

Por lo tanto, la derivada de $\text{acosh}(x)$ es:

Explicación

Para entender la derivada de $\text{acosh}(x)$, primero necesitamos entender la función en sí. La función coseno hiperbólico inverso, $\text{acosh}(x)$, se define como la inversa de la función coseno hiperbólico, $\cosh (y)$. Esto significa que si $y=\text{acosh}(x)$, entonces $x=\cosh (y)$, donde $\cosh (y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$.

Para encontrar la derivada de $\text{acosh}(x)$, comenzamos diferenciando ambos lados de la ecuación $x=\cosh (y)$ con respecto a $x$. Esto nos da:

Usando la regla de la cadena, la derivada de $\cosh (y)$ con respecto a $x$ es $\sinh (y)·\frac{dy}{dx}$, donde $\sinh (y)=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$. Así que tenemos:

A continuación, resolvemos para $\frac{dy}{dx}$:

Para expresar $\sinh (y)$ en términos de $x$, usamos la identidad ${\cosh }^2(y)-1={\sinh }^2(y)$. Dado que $x=\cosh (y)$, sustituimos $\cosh (y)$ por $x$ para obtener:

Tomando la raíz cuadrada, encontramos:

Finalmente, sustituimos $\sinh (y)$ de nuevo en la derivada:

Por lo tanto, la derivada de $\text{acosh}(x)$ con respecto a $x$ es $\boxed{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}$.

Q.E.D.