Derivada de acos(x) - Demostración y Explicación

Para encontrar la derivada de $\arccos (x)$ , comenzamos dejando:

y = \arccos (x)

Esto significa que $y$ es el ángulo cuyo coseno es $x$ . En otras palabras, tenemos:

x = \cos (y)

Paso 1: Diferenciar ambos lados

Diferenciamos ambos lados de esta ecuación con respecto a $x$ . El lado izquierdo simplemente se convierte en $1$ . Para el lado derecho, usando la regla de la cadena:

\frac{d}{d x} (\cos (y)) = - \sin (y) \frac{d y}{d x}

Así, la ecuación se convierte en:

1 = - \sin (y) \frac{d y}{d x}

Paso 2: Resolver para $\frac{d y}{d x}$

Reordenando la ecuación para resolver $\frac{d y}{d x}$ :

\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sin (y)}

Paso 3: Expresar $\sin (y)$ en términos de $x$

Usando la identidad pitagórica:

\sin^{2} (y) + \cos^{2} (y) = 1

Podemos expresar $\sin (y)$ como:

\sin (y) = \sqrt{1 - \cos^{2} (y)} = \sqrt{1 - x^{2}}

Paso 4: Sustituir $\sin (y)$ de nuevo en la derivada

Sustituyendo esto de nuevo en nuestra expresión para $\frac{d y}{d x}$ :

\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Por lo tanto, la derivada de $\arccos (x)$ es:

- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Q.E.D.