Derivada de abs(x) - Demostración y Explicación

Demostración

Comenzamos definiendo la función valor absoluto, $\left|x\right|$, como una función a trozos:

Para encontrar la derivada, diferenciamos cada parte por separado:

1. Para $x\ge 0$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x)=1$$

2. Para $x<0$:

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(-x)=-1$$

Combinando estos resultados, obtenemos:

En $x=0$, la función $\left|x\right|$ es continua, pero su derivada no está definida porque el límite por la izquierda ($-1$) y el límite por la derecha ($1$) no son iguales.

Otra forma de expresar la derivada de $\left|x\right|$ es usando la función $\frac{x}{\left|x\right|}$. Esta función se define como:

Por lo tanto, la derivada de $\left|x\right|$ es:

Explicación

Para entender la derivada de la función valor absoluto $\left|x\right|$, vamos a desglosarlo paso a paso.

La función valor absoluto $\left|x\right|$ se define de manera diferente para valores positivos y negativos de $x$. Específicamente:

Esto significa que para cualquier valor no negativo de $x$ (incluyendo cero), $\left|x\right|$ es simplemente $x$, y para cualquier valor negativo de $x$, $\left|x\right|$ es $-x$.

Para encontrar la derivada de $\left|x\right|$, necesitamos considerar estos dos casos por separado:

1. Cuando $x\ge 0$, la función $\left|x\right|$ es igual a $x$. La derivada de $x$ con respecto a $x$ es $1$.

2. Cuando $x<0$, la función $\left|x\right|$ es igual a $-x$. La derivada de $-x$ con respecto a $x$ es $-1$.

Juntando estos dos resultados, obtenemos:

En $x=0$, la situación es diferente. La función $\left|x\right|$ es continua en $x=0$, pero su derivada no está definida. Esto se debe a que el límite por la izquierda de la derivada cuando $x$ se aproxima a 0 desde el lado negativo es $-1$, y el límite por la derecha cuando $x$ se aproxima a 0 desde el lado positivo es $1$. Dado que estos dos límites no son iguales, la derivada en $x=0$ no existe.

Otra forma de expresar esta derivada de manera más compacta es utilizando la función $\frac{x}{\left|x\right|}$. Esta función nos da el signo de $x$:

En $x=0$, esta expresión no está definida porque no podemos dividir por cero. Por lo tanto, la derivada de $\left|x\right|$ se puede escribir como:

Así, la derivada de la función valor absoluto $\left|x\right|$ es $\frac{x}{\left|x\right|}$, que es $1$ para $x$ positivo, $-1$ para $x$ negativo, y no está definida en $x=0$.

Q.E.D.